La geometría es un campo fascinante que ha capturado la atención de matemáticos a lo largo de la historia. A menudo, cuando un estudiante presenta la suma de los ángulos de un triángulo como 90 grados, se le corrige de inmediato. Sin embargo, surge la pregunta: ¿qué pasaría si existiera un sistema geométrico en el que su respuesta fuese válida? Este interrogante ha llevado a los matemáticos a explorar conceptos más allá de la geometría euclidiana, dando paso a nuevas posibilidades matemáticas.
La Geometría Euclidiana y sus Fundamentos
La geometría que se enseña en las escuelas, conocida como geometría euclidiana, fue formalizada hace más de dos mil años en la obra Los Elementos, escrita por Euclides. Aunque contiene errores desde la primera página, este tratado cambió la manera de abordar las matemáticas. Euclides postuló cinco afirmaciones básicas como verdaderas, utilizando la lógica para derivar todos los teoremas de la geometría plana de su época, como el teorema de Pitágoras.
Los primeros cuatro postulados de Euclides son sencillos y evidentes. Sin embargo, el quinto postulado es más complejo, afirmando que por un punto exterior a una recta pasa una única recta paralela a esta. Este hecho generó un debate que persiste hasta nuestros días: ¿podría deducirse a partir de los otros cuatro postulados?
Los Intentos de Demostración y el Surge de la Geometría No Euclidiana
Desde la Antigua Grecia, matemáticos intentaron demostrar formalmente el quinto postulado. A inicios del siglo V, Proclo fue uno de los primeros en intentarlo, aunque partió de suposiciones no justificadas. Más tarde, en el imperio árabe, Alhacén también realizó intentos similares. Fue solo en el siglo XIX, de manera independiente, que el joven militar húngaro János Bolyai y el profesor ruso Nikolái Lobachevski establecieron una geometría donde existen múltiples líneas paralelas a través de un punto exterior. Esta nueva forma de geometría es lo que hoy se conoce como geometría hiperbólica.
Modelo de la Geometría Hiperbólica
Las teorías de Bolyai y Lobachevski necesitaban un modelo físico para validar su geometría. Este modelo formal apareció casi medio siglo después, cuando matemáticos como el alemán Bernhard Riemann comenzaron a explorar diferentes espacios en los cuales se puede aplicar la geometría. En 1868, el matemático italiano Eugenio Beltrami presentó un modelo matemático de la geometría hiperbólica conocido como disco de Poincaré. En este modelo, el quinto postulado de Euclides no se cumple, aunque los otros sí.
Este disco de Poincaré ha sido representado en varias obras del artista neerlandés M. C. Escher, donde se muestra cómo los objetos disminuyen infinitamente al acercarse al borde de la figura. En este contexto, la suma de los ángulos de un triángulo no es 180 grados, sino que es siempre menor y variable.
Modelos Físicos y Visualización
La comunidad matemática ha explorado diferentes formas de representar físicamente la geometría hiperbólica. Beltrami creó modelos en papel que aún se conservan, mientras que el estudiante alemán Walther von Dyck desarrolló modelos en escayola. Sin embargo, el matemático David Hilbert demostró que no es posible visualizar completamente la geometría hiperbólica en tres dimensiones.
En la actualidad, encontramos ejemplos de geometría hiperbólica en objetos cotidianos como hojas de col kale, sillas de montar y ciertos snacks de patata. Además, la matemática lituana Daina Taimina ha popularizado el uso del ganchillo hiperbólico para representar esta geometría.
Nuevas Tecnologías y Geometría Hiperbólica
Las nuevas tecnologías han ampliado las formas de visualizar el mundo hiperbólico. Desde plataformas interactivas que permiten el dibujo con regla y compás hiperbólicos hasta videos que muestran las relaciones entre diferentes modelos, las posibilidades son múltiples. Recientemente, el videojuego Hyperbolica, que ofrece una experiencia inmersiva con gafas de realidad virtual, representa un entorno de esta rica historia matemática.
