Las Fases Topológicas de la Materia: Un Nuevo Enfoque Cuántico
Al hablar de las fases de la materia, comúnmente se hace referencia a los estados sólido, líquido y gaseoso. En estos ejemplos, la temperatura actúa como un factor clave que provoca transiciones entre los diferentes estados, como el derretimiento del hielo o la evaporación del agua. Sin embargo, al acercarse al cero absoluto, donde las leyes de la mecánica cuántica cobran protagonismo, se observa un conjunto mucho más diverso y complejo de fases.
Fases Topológicas: Propiedades Únicas
Un aspecto destacado de este nuevo conjunto son las fases topológicas, que se caracterizan porque sus propiedades no dependen de la composición o estructura local del material, sino de su topología. Esta característica global permanece inalterable ante deformaciones suaves, lo que les confiere una notable estabilidad. Esta estabilidad es especialmente valiosa para su aplicación en memorias cuánticas que son intrínsecamente resistentes a errores.
El Rol de las Simetrías en la Física Cuántica
Las transiciones en las fases cuánticas están substancialmente determinadas por las simetrías de un sistema cuántico. Estas simetrías, que incluyen transformaciones como rotaciones e inversiones, no alteran las propiedades fundamentales del sistema. Este fenómeno es explicado en parte por el teorema de Emmy Noether, que relaciona las simetrías con las leyes de conservación.
Un ejemplo claro se presenta cuando los espines de los electrones, que inicialmente están desordenados, se alinean al introducir un campo magnético externo, llevando a una transición a un estado ferromagnético. Esta nueva organización en los espines puede interpretarse como la rotura de una simetría del sistema, detectable a través de la magnetización.
Nuevas Perspectivas con Redes de Tensores
A diferencia de las transiciones de fase convencionales, las fases topológicas y sus transiciones no se pueden explicar por la rotura de simetrías tradicionales. En este contexto, las redes de tensores ofrecen una nueva perspectiva al describir las correlaciones cuánticas entre partículas.
Los tensores son generalizaciones de vectores y matrices, donde un tensor de rango k se presenta como una tabla de k dimensiones. En este modelo, a cada partícula se le asigna un tensor, y el estado cuántico total se obtiene al «contrar» estos tensores siguiendo una estructura que refleja sus interacciones.
Progreso en la Comprensión de Fases Topológicas
Las redes de tensores han mostrado ser fundamentales para describir los estados cuánticos a bajas temperaturas. Un estudio pionero de Matthew Hastings hace dos décadas reveló que las propiedades de las fases topológicas pueden ser codificadas en los tensores que representan sus estados. La simetría de estos tensores origina las fases topológicas, permitiendo así su clasificación.
Para describir las simetrías de estas redes de tensores, se requieren estructuras matemáticas avanzadas, como las álgebras de Hopf débiles, que generalizan las propiedades de los grupos matemáticos y permiten capturar las características de las cuasi-partículas emergentes.
Este enfoque ha facilitado la representación matemática de todas las fases topológicas conocidas en sistemas bidimensionales y ha permitido obtener interacciones entre partículas en estado de mínima energía, ejemplificada por el estado RVB (Resonating Valence Bond State), propuesto por el Premio Nobel Philip Warren Anderson.
Así, las redes de tensores no solo hacen posible la representación matemática de estas fases, sino que también han abierto nuevas vías para desentrañar estructuras en tres dimensiones, un tema que sigue siendo de gran interés en física y matemáticas.
David Pérez-García es catedrático de la Universidad Complutense de Madrid, miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y académico de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de España.
Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT-CSIC)
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