Área del Triángulo de Reuleaux y su Relación con el Triángulo Equilátero
El área del triángulo de Reuleaux (R) se relaciona directamente con la del triángulo equilátero (T) de lado 1 y los segmentos circulares (S) que se sitúan sobre cada lado. La fórmula que recoge esta relación es:
R = T + 3S,
donde S se define como el sector circular menos el triángulo:
S = π/6 – T
Con esto, podemos reformular el área del triángulo de Reuleaux:
R = T + 3(π/6 – T) = π/2 – 2T
Conociendo que T = √3/4, se llega a la conclusión final:
R = (π – √3)/2
Monedas de Forma de Polígono de Reuleaux
Entre los ejemplos de aplicaciones del polígono de Reuleaux, destacan algunas monedas, siendo la más reconocible la moneda británica de 50 peniques, que adopta una forma de heptágono de Reuleaux. Esto refuerza el interés en los polígonos de Reuleaux y su uso en diseño industrial y acuñaciones.
Contribuciones de Leonardo da Vinci a la Cartografía
Uno de los aspectos menos conocidos de Leonardo da Vinci son sus aportes en el campo de la cartografía. En su misceláneo Codex Atlanticus, conservado en la Biblioteca Ambrosiana de Milán, se encuentra un manuscrito de 1508 donde analiza diferentes tipos de proyección cartográfica, como la proyección cónica plana de Tolomeo y el planisferio de Contarini-Rosselli.
Leonardo introdujo una nueva proyección, dividiendo el globo terráqueo en ocho octantes y luego aplanándolos en forma de triángulos de Reuleaux. La pregunta que surge es si esta elección fue arbitraria o si el aplanamiento de un octante necesariamente conduce a un triángulo de Reuleaux.
La Estructura del Mapamundi de Leonardo
En su diseño, Leonardo organizó los cuatro octantes de cada hemisferio en una estructura que se asemeja a un trébol de cuatro hojas, posicionando los polos en los centros de cada trébol. Este modelo, conocido como el «Mapamundi de Leonardo», se atribuye a él, aunque hay algunas dudas sobre su autoría, ya que algunos creen que uno de sus asistentes pudo haberlo dibujado posteriormente.
Lo que resulta indiscutible es que Leonardo fue pionero en proponer la proyección en octantes y su agrupación, evidenciada en un boceto del manuscrito mencionado.
Características de la Proyección en Octantes
Es importante señalar que la proyección en octantes no cumple con las condiciones de ser conforme ni de igual área. Una proyección conforme mantiene los ángulos, como se observa en la proyección de Mercator, mientras que una proyección de igual área preserva la proporción de superficies geográficas. Elegir conservar una característica puede llevar a la distorsión de otras, planteando la pregunta: ¿es posible que una proyección cartográfica sea a la vez conforme y de igual área?
Finalmente, les propongo una cuestión intrigante que combina lógica y matemáticas: ¿Existen tréboles de cuatro hojas?
